Arts&MétiersMag - N°442 - Février 2023 - 66

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Ils ont proposé
une solution
Réponse au problème n° 187
PROPOSÉ PAR JEAN-PAUL BUSSEUIL (CL. 164) DANS LE NUMÉRO DE NOVEMBRE 2022, P. 66
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Cinq pirates et un singe font naufrage sur une île. Les marins passent la journée à
ramasser des noix de coco. La nuit, l'un d'eux, soupçonneux, se réveille et décide de prendre sa part : il
divise les noix en cinq tas et, comme il en reste une, il l'attribue au singe et se saisit de sa part. Peu après,
un deuxième pirate fait de même et il lui reste aussi une noix pour le singe. Et ainsi de suite jusqu'au
cinquième homme, avec toujours une noix pour le singe. Le matin, ils partagent les noix restantes en cinq
parts égales sans qu'il en reste une seule. Combien en avaient-ils ramassé?
Soient X le nombre initial de noix, xi le nombre de
noix prises par le pirate à la ie étape du processus
et Y le nombre de noix distibuées à chaque pirate
le matin.
X = 5x1 + 1
4x1 = 5x2 + 1
4x2 = 5x3 + 1
4x3 = 5x4 + 1
4x4 = 5x5 + 1
5Y = 4x5
Éliminons les xi en les exprimant en fonction de X :
x1 = X - 1
5
25
125
1
4x1 = 4 (X - 1)
5
x2 = 4 (X - 1) - 1
5
x3 = 1 (16X - 36) - 1
5
[etc.]
x5 =
3125
5Y =
(256X - 2101)
4
3125
(256X - 2101)
4x2 = 16X - 36
25
4x3 = 64X - 244
125
On obtient de cette manière la magnifique équation
diophantienne :
1024X − 15625Y = 8404
Philippe Fondanaiche (X 1963) en a proposé la résolution
suivante à l'aide de l'algorithme d'Euclide :
1024X − 15625Y = 8404
1024X − (15 * 1024 + 265)Y = 8 * 1024 + 212
1024X1 -265Y = 212 avec X1 = X - 15Y - 8
(3 * 265 + 229)X1 − 265Y = 212
229X1 − 265Y1 = 212 avec Y1 = Y - 3X1
229X1 − (229 + 36)Y1 = 212
229X2 − 36Y1 = 212 avec X2 = X1 - Y1
(6 * 36 + 13)X2 − 36Y1 = 212
13X2 − 36Y2 = 212 avec Y2 = Y1 - 6X2
13X2 − (2 * 13 + 10)Y2 = 212
13X3 − 10Y2 = 212 avec X3 = X2 - 2Y2
(10 + 3)X3 − 10Y2 = 212
3X3 − 10Y3 = 212 avec Y3 = Y2 - X3
3X3 − (3 * 3 + 1)Y3 = 212
3X4 - Y3 = 212 avec X4 = X3 - 3Y3
On pose alors Y3 = 3k' + 1,
ce qui donne X4 = k' + 71,
X3 = 10k' + 74,
Y2 = 13k' + 75,
X2 = 36k' + 224,
Y1 = 229k' + 1419,
X1 = 265k' + 1643 et
Y = 1024k' + 6348,
X = 15625k' + 96871
En posant k = k' + 6, on obtient finalement :
X = 15625k + 3121 et
Y = 1024k + 204
Les pirates avaient donc ramassé 3121 noix de coco
qu'ils s'étaient subrepticement partagées nuitamment
selon les parts x1 = 624, x2 = 499, x3 = 399,
x4 = 319, x5 = 255, plus 5 * 204 = 1020 noix qu'ils
se sont équitablement partagées le matin.
Le singe, lui, n'a eu droit qu'à 5 noix de
coco. L'histoire ne dit pas si l'ambiance
resta cordiale au sein du groupe après
ce partage un peu particulier...
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
et Pierre Dumont (Cl. 159)
66 Arts&MétiersMAG
N° 442 / Février 2023
Roger Amblard (Ai. 162)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Gérard Bruyère (Cl. 156)
Jean Chartier (An. 156)
Rémi Christory (Li. 202)
Alain Delahodde (ESE 1975)
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bruno Hirtz (Ch. 170)
Yves Laumond (Ai. 162)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Christian Parouty (Bo. 165)
Patrick Plottu (An. 191)
Jean-Louis Séghésio (Ai. 160)
Michel Simon (An. 152)
Problème
n°
189
Les nombres entiers n sont
classables en trois catégories
considérant la nature de leur
factorisation à l'aide d'une fonction
μ(n) construite de la façon suivante :
* si un des facteurs de n se répète :
μ(n) = 0, par exemple 12 = 1*2*3*3
μ(12) = 0 ou μ(25) = 0
* si n est premier ou si tous les
facteurs de n sont distincts et en
quantité impaire, et par définition
si n = 0 : μ(n) = - 1, par exemple
μ(2) = - 1 ou 70 = 2*5*7
μ(70) = - 1
* si tous les facteurs de n sont
distincts et en quantité paire,
et par définition si n = 1 : μ(n) = 1,
par exemple 6 = 2*3
μ(6) = 1
La valeur de μ(n) est assez aléatoire.
Cependant, en évaluant la probabilité
que n n'ait pas de facteurs répétés,
on peut évaluer la probabilité de
répartition des nombres n dans
chacune des trois catégories de μ(n).
Saurez-vous le montrer ?
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
13 mars 2023
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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