Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Ils ont proposé
une solution
Réponse au problème n° 181
PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE MARS 2022, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Dans un triangle ABC acutangle (dont tous les angles sont inférieurs à 90 0
), on trace
son triangle orthique A1B1C1 (dont les sommets sont les pieds des hauteurs de ABC), puis le triangle médian
A'B'C' (dont les sommets sont les milieux des côtés de A1B1C1) du triangle orthique.
Montrez que le cercle de Taylor de ABC (cercle passant par les projections orthogonales M, N, P, Q, R et S
des pieds des hauteurs de ABC sur les côtés opposés) est le cercle de Conway (1)
.
B2
A
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Richard Clavel (Ai. 164)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Bernard Girard (An. 159)
Claude Guégan (Li. 161)
Philippe Guggemos (Bo. 172)
Claude Jobin (An. 166)
Giovanni Juin-Gauthier (Li. 217)
Yves Laumond (Ai. 162)
Jean-Marc Ollivier (An. 159)
Michel Simon (An. 152)
Denis Villanove (Ai. 152)
N
M
B1
C1
A'
Problème
S
C'
P
B'
n°
183
B
Q
A1
R
C
Deux lignes égales ayant une
longueur commune l sont divisées
respectivement en m et en n parties
égales, m et n étant deux nombres
premiers entre eux. On les place à
côté l'une de l'autre avec leurs
extrémités en coïncidence.
Montrez que la plus petite distance
entre deux divisions ne peut être
moindre que
m.n et qu'il y a deux
l
Le triangle A1B1C1 est le cercle orthique du
triangle ABC. À partir des milieux de ses côtés,
on trace son triangle médian A'B'C'.
Les projections orthogonales M, N, P, Q, R et S de
A1, B1 et C1 sur les côtés opposés du triangle ABC
sont sur son cercle de Taylor (2)
.
Traçons le point B2 symétrique de B1 par rapport
à AB. Sachant que les hauteurs du triangle ABC
sont les bissectrices de son triangle orthique
A1B1C1, nous allons montrer que les points B2, C1
et A1 sont alignés. En effet, la droite symétrique
par rapport à la droite AB de la droite C1B2 est la
droite C1B1. Et la droite symétrique par rapport à
la droite C1C de la droite C1B1 est la droite C1A1.
Or, la composition de deux symétries par rapport
à deux axes perpendiculaires AB et C1C est la
symétrie par rapport à leur intersection C1. Donc,
les droites C1B2 et C1A1 étant symétriques par
rapport à C1, les points B2, C1 et A1 sont alignés.
Par construction, le segment A'N vaut la moitié du
segment C1B2 (théorème de Thalès dans le
triangle B1C1B2), donc aussi la moitié du segment
C1B1, et le côté B'C' du triangle médian, pour la
même raison, vaut également la moitié du
segment C1B1. Cela prouve que le point N est sur
le cercle de Conway du triangle A'B'C'.
Le raisonnement serait identique pour les cinq
autres points : P, Q, R, S et M (3)
.
Pierre Dumont (Cl. 159)
(1) Lire aussi AMMag d'avril 2022, p. 74.
(2) http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle de Conway
Hauteurs.htm
(3)
groupes de divisions qui sont à cette
distance. Application numérique :
m = 250 et n = 243.
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
11 juillet 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
74 Arts&MétiersMAG
N°436 / mai 2022
PHOTO DR
http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Hauteurs.htm https://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle_de_Conway

Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022

Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022

ÉDITO
SOMMAIRE
CONTRIBUTEURS
LE MOT DU TRÉSORIER
À LA UNE
- Indicateurs
- Revue de presse
- Parcours – Global industrie
ENTREPRISE
- Usine du futur – Renault industrialise l’économie circulaire
- Innovation – Echosens garde le foie
- Start-up – Tchek, inspection éclair des rayures
EXPERTISE
- Renseignement économique – Les données, clés de la guerre économique
- Renseignement économique – La souveraineté des données
- Innovation – Seb personnalise sa production
- Ressources humaines – La RSE, levier de l’engagement des salariés
- Assurances – On récolte ce qu’on assure
- Livres – Dans la bibliothèque de la rédaction
DOSSIER - HYDROGÈNE
- La mobilité «lourde» terrestre parie sur l’hydrogène
- Masshylia produira de l’hydrogène décarboné
- Pas de véhicules à hydrogène sans réseaux de distribution
- Hyvia associe véhicules et stations de recharge
- Alstom, un train d’avance
ÉCOLE DE LA TECHNOLOGIE
- Au coeur des labos – L’enjeu industriel de la Speed Flex Factory
- L’actualité des campus – Festivités franco-allemandes – Nadège Troussier prend ses fonctions à l’Ensam
CONFÉRENCES & DÉBATS
- Classement – Les écoles d’ingénieurs préférées des étudiants
- L’humeur de Jean-Baptiste Micewicz (Cl. 177)
- Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
HISTOIRE & PATRIMOINE
- Mémoire de Gadzarts – À fond les ballons (à hydrogène)
LA TUYSSE
- Événement – Les élèves ingénieurs regardent vers l’avenir avec la Camté
- Union des élèves – Krystal Zaouane (Ch. 220) : «Il faut s’ouvrir au monde !»
- Fondation – «Un jeune, un mentor» a besoin de vous
- Vie de famille – In Memoriam Robert Bellier (Ai. 144) – Carnet
CULTURE & LOISIRS
- À lire, à voir
- Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 1
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 2
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - ÉDITO
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 4
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - SOMMAIRE
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - CONTRIBUTEURS
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - LE MOT DU TRÉSORIER
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - À LA UNE
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Indicateurs
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Revue de presse
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 11
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Parcours – Global industrie
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 13
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Usine du futur – Renault industrialise l’économie circulaire
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 15
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Innovation – Echosens garde le foie
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 17
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 18
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Start-up – Tchek, inspection éclair des rayures
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 20
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 21
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Renseignement économique – Les données, clés de la guerre économique
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 23
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Renseignement économique – La souveraineté des données
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 25
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Innovation – Seb personnalise sa production
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 27
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Ressources humaines – La RSE, levier de l’engagement des salariés
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 29
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 30
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 31
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Assurances – On récolte ce qu’on assure
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 33
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Livres – Dans la bibliothèque de la rédaction
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 35
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - La mobilité «lourde» terrestre parie sur l’hydrogène
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 37
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 38
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 39
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 40
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Masshylia produira de l’hydrogène décarboné
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Pas de véhicules à hydrogène sans réseaux de distribution
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 43
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Hyvia associe véhicules et stations de recharge
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Alstom, un train d’avance
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Au coeur des labos – L’enjeu industriel de la Speed Flex Factory
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 47
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - L’actualité des campus – Festivités franco-allemandes – Nadège Troussier prend ses fonctions à l’Ensam
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 49
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 50
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 51
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 52
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 53
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Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 55
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Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 59
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 60
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 61
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 62
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Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Événement – Les élèves ingénieurs regardent vers l’avenir avec la Camté
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Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 68
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Fondation – «Un jeune, un mentor» a besoin de vous
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 70
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - Vie de famille – In Memoriam Robert Bellier (Ai. 144) – Carnet
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - - À lire, à voir
Arts&MétiersMag - N°436 - Mai 2022 - 73
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