Arts&MétiersMag - N°435 - Avril 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Ils ont proposé
une solution
Réponse au problème n° 180
PROPOSÉ PAR YVES LAUMOND (AI. 162) DANS LE NUMÉRO DE FÉVRIER 2022, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Dans un triangle ABC, on ajoute sur chaque côté, côté sommet, une longueur égale
au côté opposé à ce sommet. Cela donne les points D, E, F, G, H, et I. Démontrez que ces six points
sont cocycliques.
E
D
A
J
C'
B
A'
H
C
G
Problème
F
B'
Roger Amblard (Ai. 162)
René Barthelat (Cl. 154)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Jean-Noël Bonnot (Ai. 167)
Gérard Bruyère (Cl. 156)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
André Catillon (Ai. 152)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean Chartier (An. 156)
Michel Ciccone (Bo. 163)
Richard Clavel (Ai. 164)
Gilbert Dallais (An. 157)
Michel Delatte (Ch. 163)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Claude Guégan (Li. 161)
Claude Jobin (An. 166)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Pierre Saunier (Cl. 168)
Jean-Louis Séghésio (Ai. 160)
Louis Signorelli (Ai. 158)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
Denis Villanove (Ai. 152)
n°
I
182
En nommant a, b et c les trois côtés du triangle
ABC, par construction les segments DG, FH et EI
sont égaux et ont pour longueur 2p = a + b + c
On remarque également que les points de contact
A', B' et C' des côtés du triangle avec son cercle
inscrit sont les milieux de FH, DG et EI.
En effet, AB' = AC', BC' = BA', CA' = CB'
D'où il découle AB' = p − a et, comme AD = a,
B'D = p
De la même façon, B'G = p, B' est donc le milieu
de DG et il en est de même pour A' et C', qui sont
les milieux respectifs de HF et EI.
J étant le centre du cercle inscrit au triangle ABC,
le triangle JDG est isocèle de hauteur JB' = r rayon
du cercle inscrit et de base DG = 2p
On en déduit que les trois triangles JFH, JDG et
JEI sont isocèles et égaux.
Donc, les six points D, E, F, G, I et H sont
sur le cercle de centre J et de rayon Rc = r2
+ p2
appelé cercle de Conway.
On peut exprimer ce rayon Rc en fonction des
côtés du triangle à l'aide de la formule de Héron,
qui donne le rayon r du cercle inscrit :
r2
=
Rc =
(a + b − c)(a - b + c)(− a + b + c)
4(a + b + c)
a2
b + a2
c + ab2
+ b2
c + bc2
a + b + c
Dans le cas d'un triangle équilatéral de côté a,
on a
Rc = a
7
3
Yves Laumond (Ai. 162)
+ ac2
+ abc
Soit un losange constitué de quatre
barres articulées de longueur l et de
sommets A, B, C et D dont deux, A et
D, sont fixes. Sur le point A, est
montée une roue dentée (ou une roue
à friction sans glissement) de rayon
primitif égal à r ; sur le point B, une
roue de rayon primitif égal à (l − r) ; et,
sur le point C, une roue identique à
celle du point A de rayon primitif égal
à r, de telle sorte que ces trois roues
puissent engrener l'une sur l'autre. Le
quatrième point D est le centre d'une
roue fixe à denture intérieure de
rayon primitif (d + r) sur laquelle seule
la roue montée en C engrène (par
construction, les roues montées en A
et B n'engrènent par sur la roue
extérieure). Si on impose un
déplacement angulaire dans un
sens donné à la barre DC du losange
autour de son axe D, quelle sera la
rotation de la roue montée en A ?
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
11 mai 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
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Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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N°435 / avril 2022
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