Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 74

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX
Pierre Dumont
(Cl. 159)
Réponse
au problème n° 178
Ils ont proposé
une solution
PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE NOVEMBRE 2021, P. 74
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ Deux forgerons A et B commencent
en même temps de battre le fer sur l'enclume. A frappe
12 coups en 7 minutes, B frappe 17 coups en 9 minutes.
Indiquez les coups qui s'approcheront le plus de la coïncidence
dans la première demi-heure de travail.
Comptons les coups frappés après le premier et supposons
que le xe
coup de A coïncide avec le ye
12
. x = 9
17
. y soit y
x
= 119
108
coup de B,
les temps mis depuis l'origine du travail pour arriver à
ces deux coups étant égaux. On a :
7
Les nombres 119 et 108 étant premiers entre eux, la
coïncidence exige que x = 108 et y = 119.
A étant le moins rapide, il ne peut frapper que
51 coups dans la première demi-heure de travail et la
coïncidence parfaite des coups ne pourra donc pas
intervenir dans ce laps de temps. Pour calculer les
fractions qui se rapprochent le plus de 119
108, il faut la
décomposer. Pour cela, nous allons utiliser une
méthode séculaire : la méthode des fractions
continues réduites.
Toute fraction P
Q = K peut s'écrire :
K = a0 + 1 avec K1 > 1
Ki = ai + 1
K1
Ki + 1
Soit P
Q = a0 +
et on néglige
a 1 +
1
Kn
Remarque : en tronquant à partir d'un certain Ki, on
obtient une fraction réduite plus simple et d'autant
plus proche de la fraction réelle qu'on a poursuivi
loin en i (1)
.
On obtient les relations de récurrence suivantes :
Pn = an . Pn - 1 + Pn - 2 avec P0 = a0 et P1 = a0 . a1 + 1
Qn = an . Qn - 1 + Qn - 2 avec Q0 = 1 et Q1 = a1
On poursuit avec l'algorithme qui en découle :
Indices
0 1 2
ai
Pi
Qi
1
a0
0 1
74
a1
a0 a0a1+1
a1
Arts&MétiersMAG
N°433 / février 2022
a2
... n - 2 n - 1 n
... an - 2 an - 1 an
Pn - 2 Pn - 1 Pn
Qn - 2 Qn - 1 Qn
1
a 2 + ...
avec Ki > 1 Kn = an + Kn + 1
1
K2
1
jusqu'à
1
a n - 1 +
1
K n
Qi
0 1 9 10 49 108
On obtient, dans le second tableau ci-dessus, la suite
convergeant vers la fraction
des fractions réduites Pi
Qi
initiale 119
de coups frappés par A en une demi-heure, on
conclut que le 49e
108. À cause de la limitation à 51 du nombre
coup de A et le 54e
coup de B sont
ceux qui s'approchent le plus de la coïncidence dans
le temps imparti.
Connue depuis l'Antiquité, la méthode des fractions
continues réduites était enseignée jadis dans les écoles
d'ingénieurs - avant l'ère de l'informatique. Elle
rendait bien service pour effectuer «manuellement»
des calculs fastidieux, notamment en cinématique
pour les rapports de roues dentées.
Pierre Dumont (Cl. 159)
(1)
Pour la démonstration de convergence, voir par exemple :
https ://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction-continue
LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE
14 mars 2022
en indiquant clairement
vos prénom, nom et promo
par courrier postal à :
Arts & Métiers mag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
Pi
K1 = a1 + 1 avec K2 > 1
avec Kn > 1
Appliquons cet algorithme au cas présent en
calculant d'abord les ai.
Indices
1
2
3
4
5
Indices
ai
p
119
108
11
9
2
q
108
11
9
2
1
reste
11
9
2
1
1 1
0 1 2 3 4
1 9 1 4 2
10 11 54 119
div : ai
1
9
1
4
2
Philippe Artiges (Ai. 159)
René Barthelat (Cl. 154)
Pierre Bertran (Ai. 148)
Denis Borel (Li. 159)
Gérard Bruyère (Cl. 156)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
André Catillon (Ai. 152)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Alain Delahodde
Michel Delatte (Ch. 163)
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Gérard Gallou (Ch. 170)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Yann Gourdon (Ai. 216)
Michel Journeau (Cl. 150)
Yves Laumond (Ai. 162)
Frédéric Martin (An. 156)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Baptiste Portet (Ch. 218)
André Queguiner (An. 179)
Pierre Saunier (Cl. 168)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
Éric Tilagone (Bo. 187)
Frédéric Tremblay (Bo. 178)
Denis Villanove (Ai. 152)
n°177
Jean-Charles Derobert (Bo. 186)
Problème
n°
180
proposé par Yves Laumond
(Ai. 162)
Dans un triangle ABC, on ajoute sur
chaque côté, côté sommet, une
longueur égale au côté opposé à ce
sommet, ce qui donne les points D,
E, F, G, H et I. Démontrez que ces six
points sont cocycliques.
PHOTO ADOBESTOCK
PHOTO DR

Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022

Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022

ÉDITO
SOMMAIRE
CONTRIBUTEURS
LE MOT DE LA VICE-PRÉSIDENTE
À LA UNE
- Indicateurs
- Revue de presse
- Perspectives – La pandémie n’a pas frappé partout pareil
- Parcours – Capitaine James Alexandre (An. 213)
- Mouvements
ENTREPRISE
- Usine du futur – L’union fait la force de Lisi Aerospace
- Usine du futur – TLD Group, un taxi pour le ciel
- Start-up – Inarix démocratise la mesure du vivant – Le bon goût des frères Besnard – Bilberry pulvérise intelligemment – Une petite mousse La Banou à Brive
EXPERTISE
- Usine du futur – Transformer ou opérer
- Technique – L’impression c’est bien, la finition c’est mieux
- Assurances – Quand les primes s’envolent
- Ressources humaines – Les six points qui font le bon repreneur
DOSSIER - REPRISE D’ENTREPRISE
- Reprendre, telle est la question
- Cent premiers jours essentiels
- Témoignages – Redonner du sens à sa carrière – À deux, on est plus fort – Une reprise pour se consolider – Être maître de ses décisions – Sortir de sa zone de confort – S’appuyer sur une équipe - Ne plus subir de chef – Réaliser un rêve de gamin
ÉCOLE DE LA TECHNOLOGIE
- Au coeur des labos – L’usinage se modernise à Cluny – Le L2EP roule pour Lille
- Formation – IMS, un master qui ne reste pas en surface
- L’actualité des campus – Jenii, presque la réalité – L’Ensam parle aux écoliers
CONFÉRENCES & DÉBATS
- L’humeur de Jean-Baptiste Micewicz (Cl. 177)
- Courrier des lecteurs – Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
HISTOIRE & PATRIMOINE
- Grande figure – Georges Gazuit (Cl. 143), l’industriel poète
- Mémoire de Gadzarts – Des bourdons et des rapaces
LA TUYSSE
- Événement – AG d’automne : enfin réunis !
- Soce – Parlons ensemble de santé mentale
- Vie de promo – Préparez-vous à la disnée !
- Groupes territoriaux – Le GT Touraine en visite chez TLD
- Vie de promo – Le sens de l’après-carrière de la Ch. 174
- Vie de famille – In Memoriam Pierre Mazabraud (Bo. 166) – Carnet
CULTURE & LOISIRS
- À lire – A voir
- Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 1
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 2
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - ÉDITO
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 4
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - SOMMAIRE
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - CONTRIBUTEURS
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - LE MOT DE LA VICE-PRÉSIDENTE
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - À LA UNE
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Indicateurs
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Revue de presse
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Perspectives – La pandémie n’a pas frappé partout pareil
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Parcours – Capitaine James Alexandre (An. 213)
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Mouvements
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Usine du futur – L’union fait la force de Lisi Aerospace
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 15
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Usine du futur – TLD Group, un taxi pour le ciel
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 17
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Start-up – Inarix démocratise la mesure du vivant – Le bon goût des frères Besnard – Bilberry pulvérise intelligemment – Une petite mousse La Banou à Brive
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 19
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Usine du futur – Transformer ou opérer
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 21
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 22
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 23
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Technique – L’impression c’est bien, la finition c’est mieux
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 25
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Assurances – Quand les primes s’envolent
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 27
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Ressources humaines – Les six points qui font le bon repreneur
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 29
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - DOSSIER - REPRISE D’ENTREPRISE
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 31
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Reprendre, telle est la question
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 33
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - - Cent premiers jours essentiels
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Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 62
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Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 65
Arts&MétiersMag - N°433 - Février 2022 - 66
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