Arts&MétiersMag - N°423 - Décembre 2020/Janvier 2021 - 90

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CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX

Pierre
Dumont
(Cl. 159)

Réponse au problème n° 168

Ils ont proposé

Combien y a-t-il de chiffres dans la suite des nombres de 1 à N inclusivement ?
En particulier pour les 99, 999, 9999, etc. premiers nombres ? 

Pierre Bertran (Ai. 148)
Jean-Paul Busseuil (Cl. 164)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean Chartier (An. 156)
Michel Delatte (Ch. 163)
Georges Giovannini (Bo. 167)
Bernard Girard (An. 159)
Yves Laumond (Ai. 162)
Achille Martin (Cl. 215)
Riad Megherbi (Cl. 215)
Jean Simon (Cl. 156)
Michel Simon (An. 152)
Claude Terracol (An. 151)
Claude Guégan (Li. 161)

PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO D'OCTOBRE 2020, P. 89
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ

Écrivons les uns au-dessous des autres les N
premiers nombres.
N étant supposé avoir m chiffres, complétons tous
les nombres du tableau en leur ajoutant des zéros
sur la gauche, de façon à les composer tous de
m caractères.
Ensuite, ajoutons, en tête de cette liste, une ligne de
m zéros comme dans l'exemple ci-dessous où N
vaut 365 et est donc composé de trois chiffres :
0	0	0
0	0	1
0	0	2
0	0	.
0	1	0
0	1	1
0	.	 .
1	0	0
1	.	 .
2	0	0
2	.	 .
3	0	0
3	.	 .
3	6	5
Pour obtenir le nombre cherché, il faut évaluer le
nombre total des caractères figurant au tableau ainsi
formé et en retrancher le nombre de zéros qu'on y a
ajouté.
Or, le premier de ces nombres est évidemment :
m(N + 1)
Passons au nombre de zéros.
De 10m - 1 à N, nous n'en avons pas ajouté.
Au-dessus de 10m - 1, dans la première colonne de
gauche, nous avons ajouté 10m - 1 zéros ; au-dessus
de 10m - 2, dans la deuxième colonne, nous en avons
ajouté 10m - 2 ; etc. ; au-dessus de 10, dans la
deuxième colonne de droite, nous en avons ajouté
10 ; au- dessus de 1, dans la première colonne de
droite, nous en avons ajouté 1. Nous en avons donc
ajouté en tout : 10m - 1 + 10m - 2 + ... + 10 + 1
m - 1
c'est-à-dire 10 9
et le nombre cherché, X, est donné par l'égalité :
m - 1
X = m(N + 1) - 10 9
Cette formule peut se traduire en langage ordinaire
de la manière suivante.
Pour savoir combien il y a de chiffres dans la suite
des N premiers nombres, il suffit de multiplier le
nombre (N + 1) par le nombre de chiffres qui

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N°423 / Décembre 2020-Janvier 2021

entrent dans le nombre N et de retrancher du
produit un nombre formé d'autant de 1 qu'il y a de
chiffres dans le nombre N.
Par exemple, dans la suite des 365 premiers
nombres, il y aura :
3 x 366 - 111 = 987 chiffres.
Examinons le cas particulier où N = 10m - 1.
m - 1
Alors X = m. 10m - 10 9
Dans ce cas, on obtient X en retranchant d'un
nombre formé de m suivi de m zéros un nombre
formé de m fois le chiffre 1. Le premier chiffre à
droite de la différence sera évidemment un 9 ; avec
l'unité de retenue, le chiffre suivant du plus petit
nombre devient 2 et, par suite, le deuxième chiffre
à droite de la différence est un 8 ; il en est de même
des m - 2 chiffres qui précèdent et le dernier chiffre
à gauche est m - 1 (si m n'a qu'un chiffre),
autrement les premiers chiffres à gauche
constituent le nombre m - 1.
Exemples : le nombre de chiffres qu'on doit écrire
pour faire le tableau des 99 premiers nombres est
189 ; pour les 999 premiers nombres, il en faut
2 889 ; pour les 9 999 premiers nombres,
38 889,  etc.
Pierre Dumont (Cl. 159)

une solution

Pour le problème n° 167
René Berthelat (Cl. 154)
Claude Guégan (Li. 161)
Michel Simon (An. 152)
Denis Villanove (Ai. 152)

Problème

170

n°

En vous appuyant sur les
résultats ci-contre, déterminez,
dans la suite naturelle des
nombres, le ke chiffre écrit.

LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE

1er février 2021
par courrier postal à :

Arts&MétiersMag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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