Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 82

PHOTO DR

CULTURE & LOISIRS TOUS MATHEUX

Pierre
Dumont
(Cl. 159)

Ils ont proposé

Réponse au problème n° 167

une solution

PROPOSÉ DANS LE NUMÉRO DE SEPTEMBRE 2020, P. 73

En privilégiant une solution purement géométrique,
construisez un triangle ABC rectangle en C connaissant la longueur de la bissectrice
intérieure issue de A et la distance de son pied I au troisième sommet B. 
RAPPEL DE L'ÉNONCÉ

A

y

Q

J

Pour le problème n° 165

O
E

Pierre Bertran (Ai. 148)
Jean-Michel Ciccone (Bo. 163)
Philippe Charbonnier (Li. 166)
Jean Chartier (An. 156)
Jean-Claude Foucriat (Cl. 149)
Bernard Girard (An. 159)
Yves Laumond (Ai. 162)
Henri Lourdin (Cl. 153)
Jean-Marc Ollivier (An. 169)
Jean Simon (Cl. 156)
Claude Terracol (An. 151)
René Berthelat (Cl. 154)

90°

C

I
T

D

B

x
Soit AI = 2r la bissectrice et BI = e, longueurs
connues.
La perpendiculaire AJ à AI étant bissectrice
extérieure, la division (BCIJ) et sa projection
orthogonale (DEIA) sont harmoniques. Donc, par
rapport au cercle (O, r) de diamètre AI, CE est
polaire de D et DC lui est tangente.
Égalités d'angles :
DAC = DBC (côtés perpendiculaires)
et DAC = DCB (même mesure d'arc du cercle O),
donc DBC = DCB.
Ainsi, le triangle DBC étant isocèle,
DB = DC.
La bissectrice de l'angle xOy coupe DB en T tel que
DO = DT
La puissance de D par rapport au cercle (O, r) est
DC2 = DO2 − r2
De ces trois égalités, il résulte que :
1
DB2 = DT2 − r2	
Le triangle DBI étant rectangle,
DB2 = e2 - DI2
L'égalité 1 devient :
e2 + r2 = DI2 + DT2 = IT2
Ainsi, T est l'intersection de la bissectrice de xOy et

82

Arts&MétiersMAG

N°422 / Novembre 2020

du cercle de centre I et de rayon (r2 + e2)1/2
D'où la construction suivante :
tracez le cercle (O, r) puis Oy perpendiculaire à un
diamètre AI, portez OQ = e sur Oy,
tracez la bissectrice de IOy qui coupe en T le cercle
de centre I et de rayon IQ dont la longueur est
(OI2 + OQ2)1/2 = (r2 + e2)1/2
Tracez la perpendiculaire en T à OI et de son pied D
la tangente DC au cercle (O, r).
Portez DB = DC sur DT.
Le triangle cherché est ABC.

Problème

169

n°

Soit M le milieu d'une corde
arbitraire PQ d'un cercle. Quatre
autres cordes sont tracées : AB
et CD passant par M, puis les
cordes AD et BC, ces deux
dernières interceptant la corde
PQ en X et Y respectivement.
Montrez que M est aussi le milieu
de XY.

REMARQUE

De la relation DC2 = DO2 - r2, on déduit
DO2 - DB2 = r2 qui donne l'équation x2 - y2 = r2
de l'hyperbole équilatère de cercle directeur (O, r)
dans le repère xOy.
Le sommet B est donc l'intersection avec le cercle
(I, e) dont le centre est le sommet de l'hyperbole.
Dans ce cas particulier, la solution est racine d'une
équation de degré 2, donc constructible à la règle et
au compas.
Marc Lauvergeon (An. 140) (1)
 La solution avait déjà été publiée en novembre 2003.

(1)

LES SOLUTIONS
SONT À ENVOYER AVANT LE

18 janvier
2021
par courrier postal à :

Arts&MétiersMag,
9 bis, avenue d'Iéna,
75783 Paris cedex 16
ou par courriel à :
ammsolutionstousmatheux@gmail.com



Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020

Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020

ÉDITO
SOMMAIRE
LE MOT DU PRÉSIDENT
CONTRIBUTEURS
À LA UNE
- Indicateurs
- Revue de presse
- Parcours - Xavier Wartelle (Li. 182), l'homme pressé
- Nominations
ENTREPRISE
- Industrie du futur - Renault teste la chaîne de blocs à Douai
- Les ressorts humains du CGR
- Start-up - Plaxtil offre une seconde vie aux masques jetables - Caps Me : fort de café
EXPERTISE
- Gestion financière - Comment réussir une opération de acroissance externe
- Livres - Dans la bibliothèque de la rédaction
DOSSIER VALORISATION DES DÉCHETS
- L'industrie en route vers l'éco-compatibilité
- La filière électrique-électronique doit mieux faire
- Anthony Ramoni (Cl. 196) : «Il faut trouver le bon équilibre entre économie et réalité industrielle»
- Des Gadzarts relèvent le défi
ÉCOLE DE LA TECHNOLOGIE
- L’actualité des campus - CRCT : trois enseignants-chercheurs témoignent
- Concours - Ils ont piloté leur robot en apesanteur
- Formation - Une première chaire autour de la transformation numérique
- Au coeur des labos - Valeo fait appel aux Arts pour son projet Écolocar
- Chambéry et Bordeaux engagés dans l’affichage environnemental
CONFÉRENCES & DÉBATS
- Climat - Changement climatique : le champ des possibles
- Courrier
- Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
HISTOIRE & PATRIMOINE
- Mémoire de Gadzarts - Sur les traces des montagnards de la nuit
- Les funérailles du Duc
- Recherche - Le record mondial de froid continu
LA TUYSSE
- Événement - Les directs d'Arts et Métiers TV : retour sur la première
- V ie de promo - La Châlons 174 s'empare de la question du climat
- In Memoriam - Guy Caumes (Ai. 171) Carnet
CULTURE & LOISIRS
- À lire
- A voir
- Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 1
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 2
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - ÉDITO
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 4
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 5
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 6
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - SOMMAIRE
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 8
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - LE MOT DU PRÉSIDENT
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 10
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - CONTRIBUTEURS
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - À LA UNE
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Indicateurs
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Revue de presse
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Parcours - Xavier Wartelle (Li. 182), l'homme pressé
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Nominations
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 17
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 18
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 19
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Industrie du futur - Renault teste la chaîne de blocs à Douai
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 21
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 22
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 23
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Les ressorts humains du CGR
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 25
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 26
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Start-up - Plaxtil offre une seconde vie aux masques jetables - Caps Me : fort de café
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 28
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 29
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Gestion financière - Comment réussir une opération de acroissance externe
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 31
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Livres - Dans la bibliothèque de la rédaction
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 33
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 34
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 35
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - L'industrie en route vers l'éco-compatibilité
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 37
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - La filière électrique-électronique doit mieux faire
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 39
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Anthony Ramoni (Cl. 196) : «Il faut trouver le bon équilibre entre économie et réalité industrielle»
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 41
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Des Gadzarts relèvent le défi
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 43
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 44
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 45
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 46
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 47
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 48
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - L’actualité des campus - CRCT : trois enseignants-chercheurs témoignent
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Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 60
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 61
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 62
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Le billet de Michel Harmant (Ch. 161)
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Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Les funérailles du Duc
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 67
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Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 70
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Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - À lire
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - A voir
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - 81
Arts&MétiersMag - N°422 - Novembre 2020 - - Tous matheux
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