Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 97

Culture&Loisirs
Tous matheux

Cl

59

Ils ont
proposé
une solution
René Barthelat
(Cl. 54), Pierre
Bertran (Ai. 48),
Alain Blanchard
(An. 68), Gérard
Bruyère (Cl. 56),
Jean-Paul
Busseuil (Cl. 64),
Laurent David
(An. 85), Alain
Delahodde,
Jean-Claude
Foucriat (Cl. 49),
Gérard Gallou
(Ch. 70), Georges
Giovannini
(Bo. 67), Bernard
Girard (An. 59),
Maurice
Jacquelin
(Ch. 48), Jackie
Jeangeorges
(Ai. 66), Claude
Jobin (An. 66),
Jean-Pierre
Lamoitier (Li. 57),
Didier Lasne
(Me. 216), Yves
Laumond (Ai. 62),
Jacques Lorteau
(An. 63), Frédéric
Rapin (Ch. 94),
Jean Simon
(Cl. 56), Michel
Simon (An. 52),
Claude Terracol
(An. 51), Nicolas
Terrasson
(Ch. 93), Frédéric
Tremblay (Bo 78),
Denis Villanove
(Ai. 52).

proposé dans le numéro de décembre 2019-janvier 2020, p. 97.
Rappel de l'énoncé - Au temps de Charlemagne, un père de
famille au soir de sa vie décide de partager sa fortune entre
ses enfants. Au premier enfant, il dit : va au coffre et prends un
denier plus un dixième du reste. Au deuxième : va au coffre après ton frère et,
après ce qu'il aura pris, prends deux deniers plus un dixième du reste. Au
troisième : va au coffre après tes frères et, après ce qu'ils auront pris, prends
trois deniers plus un dixième du reste. Et ainsi de suite, jusqu'au benjamin, qui prend le nombre de deniers
correspondant à son rang et rien de plus, car le coffre est vide. Démontrez qu'après cet étonnant partage, les
frères ont tous hérité de la même somme. Combien y a-t-il d'enfants et quelle somme contenait le coffre ?

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin (X56)
Il y a n enfants, qui récupèrent une fraction 1/d de ce qui reste au
coffre (d = 10). Dans le coffre, il y a r0 deniers au départ et ri deniers
quand i enfants se sont servis (rn = 0).

ri = ri - 1 - i -   ri - 1 - i pour 1 ≤ i ≤ n
d

On peut résoudre de proche en proche
0 = rn = (1 - 1/d) rn - 1 - n(1 - 1/d)
= (1 - 1/d)2 rn - 2 - (n - 1)(1 - 1/d)2 - n(1 - 1/d)
=...
= (1 - 1/d)n - i ri moins i termes
= (1 - 1/d)n r0 moins n termes.
Pour contourner ces termes complémentaires, je construis un
invariant, expression qui gardera la même valeur quand on passera
d'un enfant à l'autre.
ri y figurera sous la forme (1 - 1/d)n - i ri et, comme
(1 - 1/d)n - i + 1 ri - 1 - (1 - 1/d)n - i ri = i(1 - 1/d)n - i + 1,
il faut un correctif dans l'expression.
J'essaie l'expression (1 - 1/d)n - i (ri - ai - b), où les coefficients a, b,
indépendants de i, doivent vérifier
(1 - 1/d) [a(i - 1) + b] - ai - b = i(1 - 1/d),
pour donner 0 quand on soustrait membre à membre de
(1 - 1/d)ri - 1 - ri = i(1 - 1/d).
Coefficients de i : - a/d = 1 - 1/d, donc a = 1 - d ;
puis - b/d - a(1 - 1/d) = 0, b = - a(d - 1) = (d - 1)2.
D'où l'invariant (1 - 1/d)n - i [ri + i(d - 1) - (d - 1)2]
Égalité des valeurs en i = 0 et i = n :
[r0 - (d - 1)2] (d - 1)n/dn = rn - (d - 1) (d - 1 - n)
= - (d - 1) (d - 1 - n)
Au premier membre, le facteur (d - 1)n du numérateur est premier
avec le dénominateur dn. Il devrait diviser (d - 1)(d - 1 - n), qui est
bien plus petit.
C'est impossible à moins que les deux membres soient nuls !
Donc n = d - 1, c'est le nombre d'enfants, l'invariant vaut 0,
r0 = (d - 1)2, c'est le contenu initial du coffre,
ri = (d - 1)(d - 1 - i),
l'enfant i reçoit ri − 1 - ri = d - 1, même montant pour chacun.
Avec d = 10, les 81 deniers du coffre sont également répartis entre
neuf enfants.

Solution de Philippe Charbonnier (Li. 66)
À partir du système d'équations
ri = ri - 1 - i - (ri - 1 - i)/d et de rn = 0, on tire rn - 1 = n,
puis n = rn - 1 = (rn - 2 - n + 1)(1 - 1/d),
d'où rn - 2 = n - 1 + dn/(d - 1),
puis n - 1 + dn/(d - 1) = rn - 2 = (rn - 3 - n + 2)(1 - 1/d),
d'où rn - 3 = n - 2 + n( d )2 + (n - 1) d
d -1

d -1

On commence à voir la loi de formation des ri et on vérifie par
récurrence que :
rn - j = n - j + 1 + n( d )j - 1 + (n - 1)( d )j - 2 + ... + (n - j + 2)( d )1 
d -1

d -1

d -1

r0 = 1 + n( d )n - 1 + (n - 1)( d )n - 2 + ... + 2( d )1 
d -1

d -1

d -1

Nous sommes en présence d'une expression de la forme :
f(x) = 1.x0 + 2.x1 + 3.x2 + ... + k.xk - 1
k+1
qu'on intègre : ∫ f(x)dx = x1 + x2 + x3 + ... + xk = 1 - x - 1
1-x

k
et qu'on dérive à nouveau: f(x) = 1 + kx  - (k2 + 1)x
k+1

(1 - x)

La transposition au cas présent donne :

r0 =

1 + n( dd-1 )n + 1 - (n + 1)( dd-1 )n
n+1
n
= (d - 1)2 + (dnd
- (n + 1) d n - 2
- 1)n - 1
(1 -  dd-1 )2
(d - 1)

= (d - 1)2 + ( dd-1 )n - 1 [nd + d - d2]
La valeur r0 devant être un entier alors que ( d )n - 1 ne l'est pas, on
d -1
déduit que nd + d - d2 = 0,
donc n = d - 1 et r0 = (d - 1)2, chaque enfant recevant (d - 1) deniers. 
Pierre Dumont (Cl. 59)

Problème n° 163
proposé par André Catillon (Ai. 52)

Le pas de tir d'un missile est situé en M au milieu d'un
segment BC aux extrémités duquel sont installés deux
détecteurs. Lors d'un tir vers une cible en A, déterminez
l'angle de guidage du segment MA par rapport à BC en
fonction des angles de suivi détectés en B et en C.

Les solutions sont à envoyer avant le 30 avril
par courrier postal à
Arts&MétiersMag, 9 bis, avenue d'Iéna, 75783 Paris cedex
16 ou par courriel à ammsolutionstousmatheux@gmail.com
Mars 2020 - Arts&MétiersMag - 97

PHOTO FREEPIK

PHOTO DR

Solution du problème n° 161



Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020

Table des matières de la publication Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020

Édito
Sommaire
SUR LE VIF - Michaël Valentin, directeur associé d’Opeo
BRUT D’INFO - Ce qu’il faut retenir de l’actualité
HOMMES & RÉALISATIONS - Global industrie se met au vert
- Banque : Thierry Barbier (An. 81), compétiteur avant tout
- Informatique : Thierry Baumann (Ai. 74), éditeur pour les industriels
- Ferroviaire : Raphaël Bernardelli(Li. 96), forgé par la fonction achats
- Agroalimentaire : Cassandre Blard (Ch. 214), en prise avec la production
- Automobile : Pierre Bonifay (Ai. 82), facilitateur de contacts
- Matériaux : Alexandre Bousquet (Ai. 98), de la transformation du verre au magasin 4.0
- Aérospatial : Alexandre Broquet (Ai. 96), après l’avion, le satellite
- Mécanique : Christian Brucker (Ch. 94), fidèle à l’Alsace
- Ingénierie : Pierre Bussy (Cl. 204), pour une entreprise libératrice
- Aéronautique : Côme de Castelbajac (Li. 204), la soif d’apprendre
- Matériaux : Matthieu Chalier (Bo. 209), l’énergie d’innover
- Énergie : Philippe Chalus (Bo. 203), l’hydroélectrique en souplesse
- Hydraulique : Bernard de Champs de Saint-Léger (An. 85), une appétence pour la complexité
- Électroménager : Veronica Chapperon (Ai. 88), traiter les problèmes à la racine
- Matériaux : Thibault Chastagnier (Cl. 206), le bois dans les veines
- Aérospatial : Marc Chevalier (Bo. 80), en compagnie d’Ariane à tous les étages
- Ressources humaines : Alexis Coiseur (Li. 201), révélateur de talents
- Aéronautique : Jean-Louis Colders (Li. 80), fier du devoir accompli
- Énergie : Jacky Danilo (Ch. 88), cap sur la transition énergétique
- Énergie : Sébastien Denoual (An. 94), l’adaptation permanente
- Informatique : Guillaume Despagne (Bo. 91), l’envie d’entreprendre
- Ameublement : Nicolas Despont (Ka. 210), à l’aise dans ses meubles
- BTP : Emmanuelle Dodane (Ch. 213), au diable la routine !
- Ferroviaire : Lionel Duparay (Cl. 202), élu et ingénieur
- Matériaux : Carole Falcand (Cl. 87), experte en tribologie
- Distribution : Christophe Faure (Ai. 87), un bon devoir familial
- Automobile : Jean-Marc Finot (Ch. 83), du rêve à la réalité
- Conseil : Jacques Fougerousse (Ai. 85) au coeur de la logistique
- Aéronautique : Virginie-Anne Garnier (Bo. 204), quand une Bordelaise a des avions en tête
- Logistique : Guillaume Gazaignes (Ch. 205), l’innovation pour fil rouge
- Énergie : Ludovic Giusti (Ka. 204), transformer le management
- Santé : Mathilde Godard (Bo. 203), à plein gaz
- Conseil : Stéphane Gorce (Ch. 80), la finance au service de la stratégie
- Environnement : Laurie Guillot (Bo. 200), une généraliste dans le recyclage
- Transports : Didier Hamon (An. 81), la route à suivre
- Mécanique : Hervé Himmer (Bo. 84), le choix de la reprise
- Transports : Matthieu Hirn (Ch. 99), la force tranquille
- Énergie : Jean-Michel Jeannin (Cl. 88), du privé au public
- Mécanique : Dominique Jolimet (Cl. 78), l’entreprise d’une vie
- Tôlerie : Thierry Lafarge (Cl. 87), le parti pris de la liberté
- Mobilier urbain : Richard Lazurowicz (Bo. 72), une réussite sans tralala
- Automobile : Olivier Lefebvre (Li. 92), un rationnel impatient
- Luxe : Christophe Legrand (An. 89), un ingénieur au parfum
- BTP : Olivier Legrand (Li. 85), direct de parcours et de caractère
- Énergie : Philippe Leman (Li. 80), rebond dans la création
- Métallurgie : Pascal Lepers (Li. 85), le sens de l’ouvrage d’art
- Électronique : Daphné Lequien-Jounet (Bo. 200), retour aux Charentes
- Électroménager : Alain Leroy (Cl. 82), tête pensante de la transformation numérique
- Conseil : Stéphane Loubère (Cl. 92), à l’oreille des industriels
- Chaudronnerie : Rémy Mairel (Me. 203), le feu sacré de l’entrepreneur
- Aéronautique : Raphaël Maitre (Cl. 89), le pilote des services
- Machines-outils : Mathilde Marchand (Li. 94), prête pour un nouveau départ
- Textile : Carole Mauguin (An. 83), l’étoffe d’une grande patronne
- Transports : Jean-Louis Metzger (Ch. 81), chef d’orchestre des rues
- Réfrigération : Laurent Meykuchel (Ch. 89), ambassadeur du froid
- Assurance: Isabelle Moulin (Li. 82), le goût du risque
- Outillage : Francis Neff (Ch. 79), innover pour s’adapter
- Automobile : Daniel Niess (Ch. 88), être irréprochable
- Aéronautique : Cédric Nouvelot (An. 96), un dirigeant «triple A»
- Aéronautique : Frédéric Ollivier (Ai. 92), histoires d’êtres humains
- Électronique : Jean-Yves Pallard (An. 83), savoir composer
- Informatique : Raphaël Pedrono (Bo. 99), hors des rails
- Chimie : Olivier Perrier (Cl. 90), de la chimie au naturel
- Métallurgie : Ludovic Piquier (Cl. 92), l’aluminium et les hommes
- Environnement : Isabelle Quettier (An. 88), feu vert
- Sécurité : Stéphane Renaud (Bo. 93), pour l’amour de la technique
- Conseil : Frédéric Rey (Cl. 90), le sourcier du financement
- Numérique : Simon Richir (Li. 84), prof concret de la virtualité
- Industrie 4.0 : Olivier Riou (An. 94), le visionnaire investi
- Ingénierie : Jean Roch (An. 77), facilitateur d’agilité
- Luxe : Emmanuel Roche (An. 97), profession parfumeur en ligne
- BTP : Fabien Rossignol (Cl. 99), bâtiment avec vues
- Conseil : Véronique Ruotte (Bo. 84), coach du bien-être au travail
- Défense : Paul Sauvageot (Cl. 78), as de l’optomécanique
- Défense : Frédéric Schmidt (Ch. 98), l’héritier
- Matériaux : Clément Steger (Ch. 77), dans le bain
- Matériaux : Yan Steinberger (Cl. 92), du conseil à l’opérationnel
- Électronique : Hugues Tariel (An. 87), dites 100001
- Traitement de surface : Jean-Louis Verbrugge (Li. 85), le pionnier du chrome trivalent
- Chimie : Raphaël Wolff (Ch. 91), fier de ses équipes
La Thuysse - L’actualité des gadzarts
- Événement
- Fondation
- Vie de famille
CULTURE&LOISIRS
- Tous matheux
- Sur les terres de… Jacques Paccard (Ch. 64)
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 1
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 2
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - Édito
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 4
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 5
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 6
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - Sommaire
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 9
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 10
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 25
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Informatique : Thierry Baumann (Ai. 74), éditeur pour les industriels
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Agroalimentaire : Cassandre Blard (Ch. 214), en prise avec la production
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Matériaux : Alexandre Bousquet (Ai. 98), de la transformation du verre au magasin 4.0
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Mécanique : Christian Brucker (Ch. 94), fidèle à l’Alsace
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 30
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Ingénierie : Pierre Bussy (Cl. 204), pour une entreprise libératrice
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Aéronautique : Côme de Castelbajac (Li. 204), la soif d’apprendre
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Matériaux : Matthieu Chalier (Bo. 209), l’énergie d’innover
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Hydraulique : Bernard de Champs de Saint-Léger (An. 85), une appétence pour la complexité
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Matériaux : Thibault Chastagnier (Cl. 206), le bois dans les veines
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Aérospatial : Marc Chevalier (Bo. 80), en compagnie d’Ariane à tous les étages
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Ressources humaines : Alexis Coiseur (Li. 201), révélateur de talents
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 38
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 39
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Énergie : Jacky Danilo (Ch. 88), cap sur la transition énergétique
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - BTP : Emmanuelle Dodane (Ch. 213), au diable la routine !
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Ferroviaire : Lionel Duparay (Cl. 202), élu et ingénieur
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Distribution : Christophe Faure (Ai. 87), un bon devoir familial
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Conseil : Jacques Fougerousse (Ai. 85) au coeur de la logistique
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Aéronautique : Virginie-Anne Garnier (Bo. 204), quand une Bordelaise a des avions en tête
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 48
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Santé : Mathilde Godard (Bo. 203), à plein gaz
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Mécanique : Hervé Himmer (Bo. 84), le choix de la reprise
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 52
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Énergie : Jean-Michel Jeannin (Cl. 88), du privé au public
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Tôlerie : Thierry Lafarge (Cl. 87), le parti pris de la liberté
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Automobile : Olivier Lefebvre (Li. 92), un rationnel impatient
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - BTP : Olivier Legrand (Li. 85), direct de parcours et de caractère
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Métallurgie : Pascal Lepers (Li. 85), le sens de l’ouvrage d’art
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Électroménager : Alain Leroy (Cl. 82), tête pensante de la transformation numérique
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Chaudronnerie : Rémy Mairel (Me. 203), le feu sacré de l’entrepreneur
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Machines-outils : Mathilde Marchand (Li. 94), prête pour un nouveau départ
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Textile : Carole Mauguin (An. 83), l’étoffe d’une grande patronne
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Transports : Jean-Louis Metzger (Ch. 81), chef d’orchestre des rues
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 66
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Assurance: Isabelle Moulin (Li. 82), le goût du risque
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Automobile : Daniel Niess (Ch. 88), être irréprochable
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Aéronautique : Frédéric Ollivier (Ai. 92), histoires d’êtres humains
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 70
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 71
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Informatique : Raphaël Pedrono (Bo. 99), hors des rails
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Métallurgie : Ludovic Piquier (Cl. 92), l’aluminium et les hommes
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Sécurité : Stéphane Renaud (Bo. 93), pour l’amour de la technique
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Numérique : Simon Richir (Li. 84), prof concret de la virtualité
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 76
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Industrie 4.0 : Olivier Riou (An. 94), le visionnaire investi
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Ingénierie : Jean Roch (An. 77), facilitateur d’agilité
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - BTP : Fabien Rossignol (Cl. 99), bâtiment avec vues
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Défense : Paul Sauvageot (Cl. 78), as de l’optomécanique
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Matériaux : Clément Steger (Ch. 77), dans le bain
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 82
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Électronique : Hugues Tariel (An. 87), dites 100001
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Chimie : Raphaël Wolff (Ch. 91), fier de ses équipes
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 85
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Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 87
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 88
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - La Thuysse - L’actualité des gadzarts
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Événement
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 91
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Fondation
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 93
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 94
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Vie de famille
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 96
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Tous matheux
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - - Sur les terres de… Jacques Paccard (Ch. 64)
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 99
Arts&MétiersMag - N°416 - Mars 2020 - 100
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2209-438
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2206-437
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2205-436
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2204-435
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2203-434
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2202-433
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2112-432
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2111-431
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2110-430
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2109-429
https://www.nxtbook.fr/newpress/Arts_et_Metiers/Arts_et_MetiersMag-2106-428
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