Arts&MétiersMag - N°412 - Octobre 2019 - 73

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Solution du problème n° 157

Cl

59

Ils ont
proposé
une solution
Jean-Paul
Busseuil
(Cl. 64), Jackie
Jeangeorges
(Ai. 66), Yves
Laumond (Ai. 62),
Jean Simon
(Cl. 56), Michel
Simon (An. 52),
Claude Terracol
(An. 51), Philippe
Charbonnier
(Li. 66), Claude
Jobin (Ai. 66).

proposé par Jean-Claude Foucriat (Cl. 49) dans le
numéro de juin-juillet 2019, p. 89.
Rappel de l'énoncé - Une force F parcourt à vitesse
constante V une poutre horizontale rectiligne
appuyée à ses deux extrémités. La poutre a une
longueur L, une masse linéique m, un module
d'Young E et une inertie I. Donnez une valeur
approchée de la flèche à mi-portée. Pour quelle
valeur de la vitesse et quelle position de la force
cette flèche est-elle maximale ?

-
F t cos nt n(V, t) = -
2
M

k

-
n

(V, t) . sin n x
L

n

Les coordonnées généralisées n(V, t) et les équations du
mouvement peuvent être obtenues en écrivant les équations de
Lagrange ou en appliquant le principe des déplacements virtuels et
le principe de d'Alembert. On obtient k relations indépendantes
telles que :
[F sin nVt
L

sin

t

n

= F 2 x 1 (sin nt - nt cos nt)	
M n 2

= 1 F
2 M

2
n

(

n

cos

t-

n

n

cos

t + n2t sin

n

t) = 1 F t sin
2 M

n

= 1 F
2 M

2
n

3
= nFL
, qui décroît rapidement avec n croissant.
4 3
EI

On peut montrer qu'à la première résonance, seule l'amplitude du
mode fondamental
n'est pas nulle. La flèche atteint son maximum
FL3 quand V =
EI à l'instant t = L où la force quitte
=
3
max
c
M
EI
L
V
la poutre !
On rappelle, pour mémoire, que la3 flèche statique lorsque la force
FL .
est à mi-portée n'est que stat = 48EI

4
- mL n(V, t)] = . EI L ( n ) . n(V, t)
2
2 L

Posons :
- M = mL 	(indépendante de n)
2
4
2
n
- n = ( ) . EI 	pulsation du mode n de vibration libre de la
L
m poutre
- n=n V
L

Stephen Timoshenko, dans sa théorie des vibrations (dont les
lignes qui précèdent sont largement inspirées), et d'autres après
lui, se limitent à ce résultat. Philippe Charbonnier (Li. 66) a
trouvé une valeur plus importante de la flèche au premier mode :
FL3
FL3
max = 27,54EI > 3EI lorsque la force circulant à V = 0,6173 . Vc

En divisant par M, on obtient :
(V, t) + n2 n(V, t) = F sin
	
n
M

On montre que, pour n = 1, le maximum de (V, t) est atteint
lorsqu'à la fois :
t + t = 2k et tan t = 1 - . t. Il est supérieur à sa valeur
1+
à la résonance !
Dans la réalité, une force mobile découle d'une masse mobile :
il faut alors tenir compte de sa force d'inertie. On montre
qu'une masse mobile couple les modes et on n'obtient pas n
équations indépendantes. La résolution du problème ne peut
se faire que par simulation numérique  

dont la solution est :
	
n(V, t) = C1 sin

t + C2 cos

n

Les conditions initiales étant à t = 0
(V, t) = F
M

2
n

n

1
-

(sin

2
n

t-

n

n
n

n

t

n

t+ F
M

= 0 et

sin

2
n

n

n

1
-

2
n

sin

t

n

= 0, il vient :

t)

n

k

2
n

n=1

y(V, t)x = L = F
2
M

1
-

2
n

k
n=1

2
n

1
-

(sin

2
n

n

t-

n

(sin

n

t-

n

a parcouru 0,7634 . L

Jean Foucriat (Cl. 49) et Philippe Charbonnier (Li. 66)
avec Pierre Dumont (Cl. 59)

et, par conséquent :
y(V, t, x) = F
M

t

n

Cette dérivée s'annule pour t = 0 et pour nt = , c'est-à-dire pour
L et alors l'amplitude du mode n est maximale et vaut
t = nV

n

n=1

n

n

Dérivons par rapport au temps :

Écrivons l'expression de la déformée dynamique sous forme de
développement de Fourier :
	y(V, t, x) =

1

sin
n
n

t) sin n x
L

Problème n° 159

n

sin

proposé par Jean-Paul Busseuil (Cl. 64)

t) sin n
2

n

Ces relations évoquent une résonance du mode n lorsque n =
EI
c'est-à-dire quand V = n
m
L
Mais alors, n(V, t) prend la forme indéterminée : F x 0 .
0
M
En appliquant la règle de l'Hospital, on obtient la vraie valeur
de n(V, t) pour n = n :

,

n

Pierre et Louis montent en marchant un escalier
mécanique en mouvement. Lorsque Pierre arrive
en haut de l'escalier, il a monté 21 marches
alors que Louis, avec une vitesse double de celle
de Pierre, en a monté 28. Combien de marches
l'escalier possède-t-il au repos ?

Les solutions sont à envoyer avant le 12 novembre
par courrier postal à Arts&MétiersMag, 9 bis, avenue
d'Iéna, 75783 Paris cedex 16 ou par courriel à
ammsolutionstousmatheux@gmail.com
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